Salut,
Vom folosi criteriul cleștelui.
Una dintre proprietățile părții întregi este așa:
x -- 1 < [x] ≤ x (1)
Similar avem că:
2x -- 1 < [2x] ≤ 2x (2)
3x -- 1 < [3x] ≤ 3x (3)
...
nx -- 1 < [nx] ≤ nx (n).
Adunăm dublele inegalități (1), (2), (3), ... (n) membru cu membru (avem n astfel de duble inegalități), obținem că:
[tex]x-1+2x-1+3x-1+\ldots+nx-1<[x]+[2x]+[3x]+\ldots+[nx]\leqslant\\\leqslant x+2x+3x+\ldots+nx\Leftrightarrow \\\\\Leftrightarrow (1+2+3+\ldots+n)\cdot x-n<[x]+[2x]+[3x]+\ldots+[nx]\leqslant (1+2+3+\ldots+n)\cdot x\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow \dfrac{n(n+1)}2\cdot x-n<[x]+[2x]+[3x]+\ldots+[nx]\leqslant\dfrac{n(n+1)}2\cdot x\ \Bigg{|}:x\Rightarrow\\\\\Rightarrow \dfrac{n(n+1)}2-\dfrac{n}x<\dfrac{[x]+[2x]+[3x]+\ldots+[nx]}x\leqslant\dfrac{n(n+1)}2.[/tex]
Funcția din membrul stâng tinde la minus infinit (vezi termenul --n/x, unde n este număr natural, deci pozitiv), iar funcția din membrul drept este constantă în relație cu variabila x.
În acest caz, limita nu există, pentru că funcțiile din membri stâng și drept nu tind la aceeași valoare.
Ai înțeles rezolvarea ?
Green eyes.
